Главная

Общая тема сайта — производящие функции последовательности.

О чём говорится на этом сайте?

Представленная на сайте информация является обобщением того материала, который я читаю для студентов в рамках университетского курса дискретной математики. В первую очередь упор делается не на строгое изложение теории, а на технику и методы работы с производящими функциями, на их практическое использование для решения задач комбинаторики. Таким образом, главная цель сайта — собрать и популярно изложить основные положения, касающиеся техники работы с производящими функциями, опираясь больше на практику, чем на теорию.

Речь идёт не о любых производящих функциях: существуют разные их виды. Производящие функции используются в теории вероятностей, где они называются «производящие функции моментов», в механике (под названием «производящие функции канонического преобразования»), и даже в комбинаторике используются разные виды: экспоненциальные и полиномиальные производящие функции. Так вот на страницах этого сайта производящая функция последовательности рассматривается в полиномиальном (классическом) виде:

\begin{displaymath} G(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots. \end{displaymath}

Материал излагается максимально просто, порой даже в ущерб математической строгости. Но будьте уверены, все «манипуляции» на страницах этого сайта могут быть доказаны и полностью обоснованы. То есть это сайт не для учёных, а для учащихся.

Теоретический материал находится в разделе «Теория». Весь материал разбит на несколько лекций и приложений. Почти каждая лекция содержит примеры различной сложности (или несколько способов решения одной и той же задачи).

Бывают простые примеры, ориентированные на школьный уровень. В основном, это решение рекуррентных соотношений или просто примеры производящих функций, полученные из общих соображений при решении простой комбинаторной задачи. Такого рода задачи я даю школьникам, посещающим математические кружки.

«Средние» примеры — такие как числа Фибоначчи, задача о счастливых билетах, числа Каталана и правильные скобочные выражения, — это, как правило, классические примеры из обычных университетских учебников. Многие такие задачи я тоже даю школьникам.

По-настоящему сложными я называю только те задачи, которые ещё никто не решил. Правильнее назвать их исследовательскими проблемами. Такие проблемы, возможно, я тоже продемонстрирую на страницах сайта вместе с собственными соображениями о возможности (или невозможности) их решения.

Приложения к лекциям — это часть теоретического материала, подробное изложение которого неудобно или затруднительно делать в тексте самих лекций. Например, таблица производящих функций, различные пояснения, напрямую не связанные с темой лекции и т. д.

Дополнительная цель существования этого сайта — создать небольшой архив задач и упражнений по производящим функциям. Если Вы — преподаватель, то, возможно, захотите взять некоторые задачи для своих занятий. Если Вы — студент, то можете тренироваться на этих задачах, так как некоторые даются с ответами. Задачи по производящим функциям собраны в практическом разделе.

Ещё одна дополнительная цель — собрать литературу по производящим функциям, а также литературу, косвенно касающуюся этой тематики. Любой заинтересованный читатель рано или поздно захочет изучить предмет на глубоком уровне и с разных точек зрения. Поэтому каталог хорошей литературы по данной теме очень важен.

↑ наверх ↑